• ha를 높이로 하도록 삼각형을 돌렸을때 밑변의 길이가 a라고 하자. 삼각형의 넓이는 a*ha/2이다.
• 마찬가지로 계산하면 a*ha/2 = b*hb/2 = c*hc/2 이므로, 세 변의 길이의 비 a:b:c = hb*hc:hc*ha:ha*hb 가 된다.
• 세변의 길이가 hb*hc, hc*ha, ha*hb 인 삼각형의 넓이가 S' 이고 이 때의 수선의 길이가 ha' 이라면, 실제 삼각형과의 닮음비는 ha / ha' 가 되므로, 실제 삼각형의 넓이 S = S'*(ha / ha')^2 이 된다
• 세변의 길이가 hb*hc, hc*ha, ha*hb 인 삼각형을 좌표에 그리면, 삼각형의 넓이 S'과 수선의 길이가 ha'를 다각형의 면적과 점과 직선과의 거리을 이용해서 구할수 있다. 총 시간복잡도는 O(1)
• 논증기하를 사용해서 좀더 간단히 풀 수도 있다. 삼각형의 넓이는 헤론 공식을 사용해서 바로 구할수 있고, 수선의 길이도 {넓이}*2/{밑변} 으로 바로 구할 수 있다.

"""Solution code for "BOJ 17236. Heights".

- Problem link: https://www.acmicpc.net/problem/17236
- Solution link: http://www.teferi.net/ps/problems/boj/17236

Tags: [geometry]
"""

from teflib import geometry


def main():
    ha = float(input())
    hb = float(input())
    hc = float(input())

    A, B, C = geometry.triangle_from_sides(hb * hc, hc * ha, ha * hb)
    BC = (C[0] - B[0], C[1] - B[1])
    area_t = geometry.twice_of_polygon_area([A, B, C]) / 2
    ha_t = geometry.point_line_distance(*A, *B, *BC)
    answer = area_t * (ha / ha_t) ** 2

    print(answer)


if __name__ == '__main__':
    main()

• Dependency
  • teflib.geometry.triangle_from_sides
  • teflib.geometry.twice_of_polygon_area
  • teflib.geometry.point_line_distance

"""Solution code for "BOJ 17236. Heights".

- Problem link: https://www.acmicpc.net/problem/17236
- Solution link: http://www.teferi.net/ps/problems/boj/17236

Tags: [geometry]
"""

import math


def main():
    ha = float(input())
    hb = float(input())
    hc = float(input())

    a, b, c = hb * hc, hc * ha, ha * hb
    s = (a + b + c) * 0.5
    area_t = math.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
    ha_t = area_t * 2 / a
    answer = area_t * (ha / ha_t) ** 2

    print(answer)


if __name__ == '__main__':
    main()